Page 11 - Master Magazine 6

∗
G ( ) = H( ) G ( )H( )

in cui
- G xx(w) è la matrice rxr di densità spettrale di potenza degli input, r è il numero
di input;
- G yy(w) è la matrice mxm di densità spettrale di potenza delle risposte, m è il
numero di sensori utilizzati;
- H(iw) è la matrice mxr della funzione di risposta in frequenza (FRF);

*
T
(dove l’apice ( ) rappresenta il complesso coniugato mentre l’apice ( ) la matrice
trasposta).

La matrice FRF può essere scritta nella tipica forma (usata nell'analisi modale classica),
in termini di poli e residui [11], [13], [14]:

[ ( )] ∗
[ ( )] = = +
[ ( )] − − ∗

*
*
Dove λ k e λ k sono le coppie di autovalori (detti anche poli); R ke R k sono invece le
matrici dei residui, che può essere espressa anche come:

T
[R k] = Ψ kγ k

Dove Ψ k rappresenta il k-esimo autovettore, mentre γ k ne rappresenta la partecipazione
modale. Quindi la matrice densità spettrale di risposta può essere scritta come:

[ ] [ ] ∗ [ ] [ ] ∗

[ ( )] = + + +

− − ∗ − − − − ∗

Dove Ak sono i residui della matrice Gyy; facendo tra inoltre l’assunzione che la matrice
Gxx sia constante si ottiene:
∗
∗

[ ( )] = +

− − ∗
( )
dove Sub (ω) è l'insieme dei modi che contribuiscono alla k-esima frequenza. Questa
forma finale viene quindi decomposta mediante la tecnica SVD consentendo così
l'identificazione dei singoli modi. La matrice di densità spettrale viene quindi
approssimata, secondo l'espressione appena vista, dopo la decomposizione SVD:
[ ( )] = [Φ][Σ][Φ]